Подобно тому, как молекулы состоят из атомов, в математике каждое натуральное число может быть разбито на простые множители — те, которые делятся только сами на себя, и на 1. 

 Математики хотят понять, как распределяются числа вдоль числовой линии, в надежде обнаружить организующий принцип для построения системы арифметических чисел.

«На первый взгляд они выглядят довольно случайными», — говорит Джеймс Мейнард, математик из Оксфордского университета. 

«Но на самом деле, считается, что существует эта скрытая структура в простых числах».

В течение 165 лет математики, стремящиеся к этой структуре, сосредоточились на гипотезе Римана. 

Доказательство этого позволило  бы  найти «Розеттский камень» для расшифровки простых чисел, а также  получить премию в размере  в 1 миллион долларов от Математического института Клэя.

В препринте, опубликованном в сети интернет 31 мая, Мейнард и Ларри Гут из Массачусетского технологического института сделали шаг в этом направлении, исключив некоторые исключения из гипотезы Римана. 

Результат вряд ли принесет денежный приз, но он представляет собой первый за последние десятилетия прогресс в решении главной нерешенной проблемы математики и обещает дать толчок новым достижениям в теории чисел.

«Это сенсационный прорыв», — говорит Алекс Конторович, математик из Университета Рутгерса. 

«В этом доказательстве заложена масса новых идей, которые люди будут добывать годами».

Точно предсказать, где на числовой линии появится следующее простое число, сложно, но описать кумулятивное обилие простых чисел на больших интервалах удивительно просто.

 В конце 1700-х годов, в возрасте 16 лет, немецкий математик Карл Фридрих Гаусс увидел, что частота простых чисел, по-видимому, уменьшается по мере их увеличения, и предположил, что они масштабируются по простой формуле: число простых чисел, меньше или равно X, примерно равно X, деленное на натуральный логарифм X.

Оценка Гаусса показала себя впечатляюще хорошо.

Насколько могут судить математики, реальное число простых чисел немного выше и ниже этой кривой вплоть до бесконечности. 

То, что известные простые числа так близко следуют такой простой формуле, предполагает, что простые числа не являются полностью случайными; 

Должны быть какие-то глубокие связи, определяющие, где они появляются.

Но математики хотят точно знать, насколько верна догадка Гаусса и почему.

 В 1859 году Бернхард Риман, другой известный немецкий математик, обратился за помощью к другой функции, которая теперь называется дзета-функцией Римана. 

В качестве входных данных функция принимает комплексные числа, которые представляют собой комбинацию действительных чисел и того, что математики называют «мнимыми»: нормальное число, умноженное на квадратный корень из –1. 

Эта функция, по-видимому, фиксирует расхождения между кривой Гаусса и реальным распределением простых чисел.

 Места, где функция Римана равна нулю — называемые дзета-нулями — непосредственно описывают колеблющиеся ошибки вокруг кривой Гаусса.

Здесь Риман высказал свою знаменитую гипотезу: игнорируя некоторые тривиальные решения для отрицательных входов, все дзета-нули должны существовать для входов, где действительная часть равна половине. 

Если его гипотеза верна, то это означает, что кажущиеся случайными колебания в распространении простых чисел ограничены, не оставляя больших скоплений или пробелов в их распределении вдоль числовой линии.

Любое доказательство гипотезы Римана стало бы окном в тайный часовой механизм, управляющий нерегулярным расположением простых чисел. Это дало бы возможность «реконструировать генератор случайных чисел простых чисел», — говорит Максим Радзивилл, математик из Северо-Западного университета.

На сегодняшний день математики использовали компьютеры для проверки более 10 триллионов нетривиальных дзета-нулей, и все они лежат ровно в половине. Но никакое количество эмпирических доказательств не удовлетворит математиков: они хотят формального доказательства того, что нули никогда не могут лежать где-либо еще. 

Хотя никто не подозревает гипотезу Римана в ложности, «доказательство дает гораздо больше, чем просто утверждение о том, что оно истинно», — говорит Мейнард. 

«Это дает понимание того, почему это верно, так что у вас есть новая мощная техника для понимания простых чисел».

По прошествии 165 лет математики остаются «в полном тупике» относительно того, как они могут доказать гипотезу Римана, говорит Мейнард. 

«У нас даже нет вероятной линии доказательства».

Математики уже знают, что нетривиальные дзета-нули ограничены числом от 0 до 1. 

Они также знают о зеркальной симметрии вокруг половины, в результате чего исключение дзета-нулей на три четверти также исключает их на одной четверти. 

Таким образом, некоторые методы были сосредоточены на части от половины до трех четвертей, в то время как другие работали лучше между тремя четвертями и 1.

Это оставляло небольшую, но тревожную возможность того, что множество нулей может скрываться прямо на трех четвертях.

Наилучшее определение того, сколько нулей может лежать в трех четвертях, было предложено британским математиком Альбертом Ингхэмом в 1940 году.

 С тех пор никто не добился большего. 

«Было немного возмутительно, что этот [лимит] не удалось снизить», — говорит Радзивилл. 

«По сути, никто не работал над этим, потому что все сдались».

За исключением Мейнарда, 37-летнего специалиста, специализирующегося на аналитической теории чисел, за что он получил Филдсовскую медаль 2022 года — самую престижную награду в области математики.

На специальных пятничных дневных сеансах размышлений он возвращался к проблеме снова и снова в течение последнего десятилетия, но безрезультатно. 

На собрании Американского математического общества в 2020 году он заручился помощью Гута, который специализируется на методе, известном как гармонический анализ, который опирается на идеи физики для разделения звуков на составляющие их ноты.

 Гут также занимался этой проблемой в течение нескольких лет.

 Как раз перед тем, как сдаться и махнуть на все рукой, он и Мэйнард сделали перерыв. Заимствуя тактики из своих соответствующих математических языков и обмениваясь идеями до поздней ночи по электронной почте, они предприняли несколько нестандартных  ходов, чтобы, наконец, разрушить границы Ингхэма.

Радзивилл говорит, что эта работа представляет собой первую новую идею в охоте за дзета-нулями за 50 лет.

 «Это может фактически перезапустить область, которой долгое время действительно пренебрегали», — говорит он. «Я имею в виду, что может быть Ренессанс».

Улучшенная граница мало помогает математикам доказать гипотезу Римана в целом. Но Радзивилл и Конторович ожидают, что результат будет распространяться по всей теории чисел. Новое ограничение немедленно позволяет математикам лучше оценивать количество простых чисел, например, в более коротких интервалах.

Но реальное влияние заключается в маневрах, которые позволили Гуту и Мейнарду преодолеть барьер, новые инструменты, которые вполне могут быть применимы за пределами теории простых чисел, говорит Радзивилл. 

Он предполагает, что новые стратегии могут помочь упростить некоторые из его предыдущих работ по динамическим системам, а также могут помочь с другой давней гипотезой, известной как проблема Какеи, в которой движущаяся игла вращается на 360°, отслеживая сложные круглые или дельтовидные формы, охватывая при этом минимально возможную площадь.

 Между тем, Гут больше всего заинтересован в использовании этих идей для изучения глубокой взаимосвязи между физикой волн и распределением числовых множеств.

Оглядываясь назад, Гут вспоминает цитату австрийского поэта Райнера Марии Рильке, который наставляет начинающего поэта «жить вопросами», а не искать ответы. 

Для Гута эта стратегия комфортного дискомфорта при решении неразрешимых проблем перекликается с его математическим опытом.

«Я вовсе не рассчитываю разрешить гипотезу Римана», — говорит он. 

«Но мы надеемся, что размышления о чем-то, чего мы не понимаем, помогут найти что-то красивое или, возможно, даже полезное».